Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $3$ es la matriz cuadrada $3 \times 3$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 + 0 & 6 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $6$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Suma $6$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.5

Suma $3$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 3 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 3 & 1 & - 2 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

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Paso 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 1 & - 2 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 1 & - 2 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 1 & - 2 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 1 & - 2 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((5 - λ) (- 2 - λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Expande $(5 - λ) (- 2 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (2 - λ) (5 (- 2 - λ) - λ (- 2 - λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (2 - λ) (5 \cdot - 2 + 5 (- λ) - λ (- 2 - λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (2 - λ) (5 \cdot - 2 + 5 (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.2.1.1

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 + 5 (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.2.2

Suma $- 5 λ$ y $2 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 3 λ + λ^{2} - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 3 λ + λ^{2} - 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2

Resta $6$ de $- 10$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 3 λ + λ^{2} - 16) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.2.2.3

Reordena $- 3 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (4 (- 2 - λ) - 3 \cdot 6) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (4 \cdot - 2 + 4 (- λ) - 3 \cdot 6) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 8 + 4 (- λ) - 3 \cdot 6) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 8 - 4 λ - 3 \cdot 6) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.3.2.1.4

Multiplica $- 3$ por $6$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 8 - 4 λ - 18) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.3.2.2

Resta $18$ de $- 8$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Paso 5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 \cdot 1 - 3 (5 - λ))$

Paso 5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 - 3 (5 - λ))$

Paso 5.4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 - 3 \cdot 5 - 3 (- λ))$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 - 15 - 3 (- λ))$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 - 15 + 3 λ)$

Paso 5.4.2.2

Resta $15$ de $4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (- 11 + 3 λ)$

Paso 5.4.2.3

Reordena $- 11$ y $3 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1

Expande $(2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- 3 λ) + 2 \cdot - 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ + 2 \cdot - 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 16$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.2.3

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1.2.3.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.2.3.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 5.5.1.2.3.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.2.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.2.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.1.2.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.2.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.2.7

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} + 3 λ^{2} + 16 λ - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.3

Suma $2 λ^{2}$ y $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.4

Suma $- 6 λ$ y $16 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} - 4 (- 4 λ) - 4 \cdot - 26 + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ - 4 \cdot - 26 + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.7

Multiplica $- 4$ por $- 26$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ + 104 + 6 (3 λ - 11)$

Paso 5.5.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ + 104 + 6 (3 λ) + 6 \cdot - 11$

Paso 5.5.1.9

Multiplica $3$ por $6$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ + 104 + 18 λ + 6 \cdot - 11$

Paso 5.5.1.10

Multiplica $6$ por $- 11$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ + 104 + 18 λ - 66$

Paso 5.5.2

Suma $10 λ$ y $16 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 26 λ - 32 - λ^{3} + 104 + 18 λ - 66$

Paso 5.5.3

Suma $26 λ$ y $18 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 44 λ - 32 - λ^{3} + 104 - 66$

Paso 5.5.4

Suma $- 32$ y $104$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 44 λ - λ^{3} + 72 - 66$

Paso 5.5.5

Resta $66$ de $72$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 44 λ - λ^{3} + 6$

Paso 5.5.6

Mueve $44 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - λ^{3} + 44 λ + 6$

Paso 5.5.7

Reordena $5 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} + 44 λ + 6$